Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Національний університет «Львівська політехніка» Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій Кафедра автоматизованих систем управління Звіт з дисципліни « Комп’ютерна графіка» Лабораторної робота №3 Тема: «Паралельні та косокутні проекції»  Львів – 2017 Лабораторна робота №3 Тема: Паралельні та косокутні проекції. Мета: ознайомлення з елементарним математичним апаратом плоских геометричних проекцій. Короткі теоретичні відомості 3.1 Паралельні проекції Будемо вважати, що при центральному проектуванні картинна площина перпендикулярна осі z і збігається з площиною z=d, а при паралельному збігається з площиною z=0. Проекції розглядаються в системі координат спостерігача, що є лівосторонньою. Система координат, в якій вісь х спрямована вправо, вісь у - вгору, а вісь z - усередину екрана, природньо погоджується з екраном дисплея. На рис.3.1 наведені три зображення лівосторонньої системи координат, у яких точка P проектується на проекційну площину, розташовану на відстані d від початку координат. Для обчислення координат Xр і Yp проекції точки (x, у, z) напишемо співвідношення, отримані з подібності трикутників (рис.4.14): / Перемножуючи обидві сторони кожного співвідношення на d, одержимо / Відстань d є в даному випадку масштабним множником, застосованим до координат Xp і Yp. Фактором, що приводить до того, що на центральній проекції більш віддалені об’єкти виглядають дрібніше, ніж ближчі, є ділення на z. Відзначимо, що допустимі всі значення z, крім z = 0. Точки можуть розташовуватися як за центром проекції на від’ємній частині осі z, так і між центром проекції і проекційною площиною. Ці перетворення можна представити у вигляді матриці розміром 4х4: /. Множачи точку / на матрицю Мцентр отримаємо загальний вираз для точки в однорідних координатах (X Y Z W): / .
Рис.3.1. Центральна проекція / Рис.3.2. Інша схема побудови центральної проекції / Тепер, поділивши на W (що дорівнює z/d) для зворотнього переходу до трьох вимірів, отримаємо / При іншому представленні центрального проектування, застосовуваному в деяких роботах, проекційна площина сполучається з площиною z=0, а центр проекції розташовується в точці z = - d (рис.3.2). З подібності трикутників випливає /. Звідси одержуємо / Ортографічне проектування на площину z=0 очевидне. Напрямок проектування збігається з нормаллю до площини проекції, тобто в нашому випадку з віссю z. Таким чином, точка Р має координати: /. Ця проекція описується матрицею /. 3.2 Косокутні проекції Тепер розглянемо довільну точку x, у, z і визначимо її косокутну проекцію (Хр,Ур) на площину ху. На рис.3.4 показані два зображення точки і проектор, що рівнобіжний проектору, приведеному на рис.3.3. Рівняння для x- і y-координат проектора як функцій z мають вид у=mz+b. Вирішуючи два рівняння відносно Хр і Yр, відзначених на рис.3.4 одержуємо /. / Рис.3.3. Косокутна паралельна проекція P’(lcosa, lsina, 0) є проекцією P(0,0,1) Для проекції кавальє l=1, тому кут р, показаний на рис.4.17, складає 45°. Для проекції кабіні l=1/2, а b=агtg(2)=63,4°. У випадку ортографічної проекції l=0 і b=90°, тому
є окремим випадком
. / Рис.3.4. Косокутна паралельна проекція (Xp, Yp, 0) точки (x, y, z) Завдання: 1. Побудуйте декартову тривимірну систему координат. Побудуйте точку з довільними координатами. 2. Побудуйте паралельну проекцію точки. Для цього задайте розміщення паралельної площини - відстань d. Виведіть на екран спроектовану точку на площину та вкажіть які вона матиме координати. 3. Побудуйте косокутну проекцію точки. Для цього додатково потрібно задати під яким кутом b будемо дивитися на площину xy (див. рис.3.3.) та під яким кутом a відносно початку координат буде розміщена спроектована точка. Виведіть на екран зпроектовану точку на площину та вкажіть які вона матиме координати. Хід роботи Паралельні проекції Для обчислення координат Xр і Yp проекції точки (x, у, z) напишу співвідношения, отримані з подібності трикутник...